JAWABAN SOAL

LAMPIRAN
JAWABAN UNTUK SOAL EVALUASI

1. a. (A B) \ (A B) b. A B c. A C
2. Petunjuk: pertama buktikan bahwa A (BC)  (AB)  (AC), yaitu dengan membuktikan bahwa jika x  A (BC) maka x  (AB)  (AC). Kemudian membuktikan bahwa (AB)  (AC)  A (BC) , yakni jika x  (AB)  (AC)maka x  A (BC) .
3. Jawab {Y, O, G, A, K, R, T }, sebab dalam himpunan tidak boleh ada dua anggota yang sama jadi huruf “A” hanya dinyatakan sekali.
4. a. A= { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
B= { 1, 2, 3 , 6, 7, 14, 21, 42 }
b. A B = { 2, 3, 7}
A B = {1, 2 , 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 42}
B \ A = { 1, 6, 14, 21, 42 }
A \ B = { 5, 11, 13, 17, 19}
5. a. n(ASG) = n(A) + n(S) +n(G)  n(AS)  n(AG)  n(SG) +
n(ASG)
= 65 + 45 + 42 – 20 –25 – 15 + 8
= 100
b. Menggunakan 8 mahasiswa menyukai ketiganya dan 100 orang menyukai paling sedikit satu cabang matematika, jumlah anggota dari ketujuh daerah dalam diagram Venn diperoleh sebagai berikut.
15 – 8 = 7 menyukai statistika dan geometri tetapi tidak menyukai aljabar,
25  8 = 17 menyukai aljabar dan geometri tetapi tidak menyukai statistika,
20  8 = 12 menyukai aljabar dan statistika tetapi tidak menyukai geometri,
42  17  8 7 = 10 hanya menyukai geometri,
45  12  7 = 18 hanya menyukai stastistika,
65  12  8  17 = 28 hanya menyukai aljabar.
120  100 = 20 tidak menyukai ketiga cabang matematika di atas.
c. Dengan menggunakan diagram Venn diperoleh
(1) 28 + 18 + 10 = 56
(2) 12 + 17 + 7 = 36.

LATIHAN SOAL

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan himpunan dari daerah yang diarsir berikut!
(a) (b)





(c) )






1. Buktikan bahwa A (BC) = (AB)  (AC).
2. Nyatakan himpunan semua huruf dalam kata “YOGYAKARTA”.
3. Misalkan A adalah himpunan semua bilangan prima kurang dari 20. Dan B adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang merupakan faktor dari 42.
a. Tentukan masing-masing anggota A dan B.
b. Tentukan A B , A B , B \ A, dan A \ B .
4. Berikut adalah data dari 120 mahasiswa matematika.
65 menyukai aljabar, 20 menyukai aljabar dan statistika
45 menyukai statistika, 25 menyukai aljabar dan geometri
42 menyukai geometri, 15 menyukai statistika dan geometri
8 orang menyukai ketiganya.
Misalkan A, S, dan G berturut-turut menyatakan himpunan semua mahasiswa yang menyukai aljabar, statistika, dan geometri.
a. Carilah banyaknya mahasiswa yang menyukai salah satu dari ketiga cabang matematika tersebut, yakni carilah n(ASG).
b. Lengkapi diagram Venn berikut dengan menuliskan banyaknya mahasiswa pada tempat yang sesuai!








c. Carilah banyaknya mahasiswa yang menyukai: (1) tepat satu cabang matematika, (2) tepat dua cabang matematika.

MATERI DIAGRAM VENN

Diagram Venn

Relasi antar himpunan sering disajikan dalam bentuk diagram, misalnya untuk relasi himpunan bagian maupun relasi saling lepas. Himpunan semesta biasanya digambarkan dalam bentuk persegipanjang yang melingkupi himpunan yang dibicarakan dimana notasi S dituliskan di sudut kiri atas bagian dalam. Gambar untuk himpunan-himpunan biasanya berupa lingkaran. Sedangkan anggota suatu himpunan dinotasikan dengan titik yang berada di dalam daerah lingkaran.

Diagram tersebut dinamakan diagram Venn sebagai penghargaan kepada ahli logika John Venn (1834-1923). Diagram Venn terkadang disebut Lingkaran Euler sebagai penghargaan kepada matematikawan Swiss, Leonhard Euler ( 1707 – 1783), yang pertama kali menggunakan daerah lingkaran dalam bidang logika. Diagram Venn digunakan untuk mempermudah pemahaman tentang himpunan, selain digunakan juga untuk memperjelas prinsip-prinsip logika.

Misalkan H = {a, i, u, e, o} sedangkan semestanya adalah himpunan S = {e, u, r, o, b, a, l, i}. Diagram Venn untuk himpunan H adalah

Misalkan A dan B dua himpunan dalam himpunan semesta S, apabila A Ì B, berarti pada diagram Venn himpunan A berada di dalam daerah himpunan B. Sedangkan apabila A dan B saling lepas, maka kedua lingkaran untuk A maupun B tidak beririsan. Perhatikan diagram Venn berikut.

5. Operasi Himpunan

Dalam himpunan bilangan real maupun himpunan bilangan bulat terdapat operasi dua bilangan seperti penjumlahan, perkalian dan pengurangan. Serupa dengan hal tersebut, dari dua himpunan dapat dilakukan operasi biner, yakni gabungan, irisan dan selisih.

Gabungan himpunan A dan B, dinotasikan A È B, adalah berupa himpunan yang anggotanya adalah anggota dari A atau B. Dalam notasi pembentuk himpunan, gabungan dua himpunan A dan B dinyatakan sebagai:

A È B = {x | x Î A atau x Î B }.

Diagram Venn dari operasi gabungan A dan B dinyatakan dengan daerah arsiran berikut:

Irisan dari himpunan A dan B, dinotasikan dengan A Ç B, adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota dari A yang juga anggota dari B. Dalam notasi pembentuk himpunan, irisan himpunan A dan B didefinisikan

A Ç B = {x | x Î A dan x Î B }.

Untuk mempermudah penulisan, kata “dan” cukup ditulis dengan tanda koma “,”. Sehingga

A Ç B = {x | x Î A, x Î B }.

Diagram Venn untuk operasi irisan A dan B adalah:

Selisih himpunan A terhadap B didefinisikan sebagai

A \ B = {x | x Î A , x Ï B },

yakni merupakan himpunan yang beranggotakan semua anggota A yang tidak menjadi anggota B. Tanda garis miring “\” dapat juga diganti dengan tanda kurang “- “. Adapun diagram Venn dari A \ B adalah

Misal A = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B = { 2, 3, 5, 7 }, maka A È B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9}, A Ç B = { 3, 5, 7 }, A\B = {1,9}, dan B\A = { 2 } dengan diagram Venn:

Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan dalam himpunan semesta S. Sifat-sifat yang berlaku dalam operasi gabungan dan irisan adalah

Sifat Idempoten (1a) A È A = A (1b) A Ç A = A

Sifat Komutatif (2a) A È B = B È A (2b) A Ç B = B Ç A

Sifat Asosiatif (3a) AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC (3b) AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC

Sifat Distributif (4a) AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) (4b) AÇ (BÈC) = (AÇB)È(AÇC)

Sifat Identitas (5a) A È Æ = A (5b) A Ç S = A (6a) A È S = S (6b) A Ç Æ = Æ

Adapun operasi selisih dua himpunan tidak memenuhi sifat idempoten maupun sifat komutatif. Hal ini dikarenakan bahwa A \ A = Æ sedangkan A \ B tidak selalu sama dengan B \ A sebagaimana contoh di atas.

Sekarang misalkan A merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta S, semua anggota S yang bukan anggota A membentuk himpunan yang disebut komplemen A, dinotasikan dengan A^c. Notasi pembentuk himpunan dari komplemen A adalah

A^c = {x | x Î S , x Ï A }

(A^c dibaca komplemen A). Perlu diperhatikan bahwa simbol komplemen A^c kadangkala ditulis sebagai A¢ atau . Diagram Venn dari komplemen A digambarkan sebagai daerah yang diarsir seperti berikut

Misalkan himpunan semesta S adalah himpunan semua bilangan bulat antara 1 dan 10, sedang A = { 2, 4 , 6 ,8 }. Dalam hal ini didapat S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sehingga A^c = { 3, 5, 7, 9 }. Diagram Vennnya adalah

A dan B adalah dua himpunan dalam himpunan semesta S, sifat-sifat yang berlaku berkenaan dengan komplemen himpunan adalah:

Sifat Involusi 1. (Ac)c = A

Sifat Komplemen (2a) A È Ac = S (2b) A Ç Ac = Æ (3a) Sc = Æ (3b) Æc = S

Hukum DeMorgan (4a) (AÈB)c = Ac Ç Bc (4a) (AÇB)c = Ac È Bc

MATERI HIMPUNAN

A. Dasar-dasar Himpunan

1. Pengertian Himpunan

4

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter.

Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.

Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain bukan merupakan himpunan, misalnya

a. Kumpulan makanan enak,

b. Kumpulan wanita cantik, dan

c. Kumpulan lukisan indah.

Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “Δ sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “Ï”. Dengan demikian a Î H, iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H sedangkan b Ï H, c Ï H dan d Ï H. Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.

Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.

Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan sebagai

X = { x | x bersifat P }.

Notasi ini disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { x | x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis tegak “|” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah tanda tegak “ | ”.

Untuk memperjelas tentang berbagai cara menyatakan himpunan, perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.

a. Himpunan semua bilangan genap positif.

b. { 2, 4, 6, 8, … }

c. { x | x = 2 n , n adalah bilangan asli}.

Masing-masing cara dalam menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.

Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin, himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan tak berhingga. Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal himpunan H. Notasi tersebut adakalanya ditulis |H|. Jadi apabila H = {a, i, u, e,o} maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.

Misalkan himpunan I = { x | x Î [0, 1] } dan A adalah himpunan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini n(I) = ¥ dan juga n(A) = ¥. Himpunan A merupakan himpunan terhitung (countable) karena kita dapat mengurutkan satu persatu anggota-anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan himpunan tak terhitung (uncountable). Akibatnya penulisan lambang ¥ di atas mempunyai kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak terhitung. Seorang matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih baik yakni n(A) = À₀ (dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c. Simbol À (dibaca aleph ) merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew.

Adakalanya suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan seperti ini disebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol Æ. Tanda Æ merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:

a. Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.

b. Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

c. { x | x² + 1 = 0, x adalah bilangan bulat}

d. { x | x² - 9 = 0, 2x - 4 = 0}

e. { x | x ¹ x }

f. H = { x | x Ï H}